Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks atas Ring Komutatif

Abstract

Dalam artikel ini akan dikemukakan Teorema Cayley Hamilton pada matriks atas ring komutatif R sebagai perluasan dari matriks atas lapangan F  yang telah dikenal pada Aljabar Linear. Pembahasan Teorema Cayley Hamilton akan terkait dengan suatu polinomial karakteristik dari matriks yang diberikan. Tentu saja, pendefinisian polinomial karakteristik dari matriks atas R tidak berbeda dengan pendefinisian polinomial karakteristik dari matriks atas F yang telah dikenal pada Aljabar Linear. Dalam Aljabar Linear, Teorema Cayley Hamilton mengatakan bahwa        . Ternyata, Teorema Cayley Hamilton masih tetap berlaku pada matriks atas ring komutatif R. Jika diberikan ring komutatif R maka dapat dibentuk ring komutatif      yaitu himpunan polinomial-polinomial atas R . Selain itu, dapat dibentuk juga ring            yaitu himpunan matriks yang semua entrinya merupakan polinomial atas R. Selanjutnya, jika diberikan              yaitu himpunan polinomial–polinomial dengan koefisiennya berupa matriks atas R, maka dapat dibentuk suatu pemetaan                           , sehingga diperoleh                        . Adanya isomorfisma melalui pemetaan   sangat berguna untuk menunjukkan Teorema Cayley Hamilton pada matriks atas R. Salah satu aplikasi Teorema Cayley Hamilton yaitu invers dari suatu matriks A atas ring R merupakan suatu bentuk polinomial atas R dalam A. Lebih lanjut sebagai akibat dari Teorema Cayley Hamilton diperoleh bahwa radikal dan prima minimal dari ideal null A sama dengan radikal dan prima minimal dari ideal yang dibangun oleh polinomial karakteristik dari matriks A