SIFAT-SIFAT MORFISMA DI DALAM KATEGORI RUANG PENUTUP TOPOLOGIS YANG TERHUBUNG LINTASAN

Abstract

Untuk sebarang ruang topologis $X$ dapat dibentuk $Cov_X$ yaitu kategori \linebreak ruang penutup $X$ yang terhubung lintasan. Pada tulisan ini akan dibahas syarat perlu dan cukup eksistensi morfisma antara dua ruang penutup yang terhubung lintasan lokal. Untuk sebarang $x_0 \in X$ dan grup fundamental $G=\pi_1(X,x_0)$, dapat dibentuk kategori $SetG$, yaitu kategori semua himpunan yang dilengkapi aksi kanan oleh $G$. Selanjutnya dibentuk fungtor $F$ dari $Cov_X$ ke  $SetG$. Dalam tulisan dibuktikan bahwa $F$ bersifat \textit{fully faithful} jika $X$ terhubung lintasan dan terhubung lintasan lokal. Akibatnya untuk mengidentifikasi morfisma-morfisma antara dua obyek $A$ dan $B$ di $Cov_X$ dapat dilakukan dengan cara melihat sifat morfisma-morfisma antara $F(A)$ dan $F(B)$.

(For any topological space $X$, we can construct the category of path \linebreak connected covering spaces of $X$, denoted by $Cov_X$. In this paper we study a sufficient and necesarry condition for the existence of morphism between two locally path \linebreak connected covering spaces. For every $x_0 \in X$ and fundamental group $G=\pi_1(X,x_0)$, we can construct the category of sets with right action of $G$, denoted by $SetG$. \linebreak Furthermore, we can define a functor $F$ from $Cov_X$ to $SetG$. We proof that the functor $F$ is fully faithul if $X$ is path connected and locally path connected. From this result, we can identify morphisms between $A$ and $B$ in $Cov_X$ by using the properties of morphisms between $F(A)$ and $F(B)$. )